Aschaffenburg - Blick auf Main und Pompejanum

Zinsrechnung

Um verschiedene Finanzinstrumente auf ihre Vorteilhaftigkeit miteinander vergleichen zu können, ist ein Vergleich der Zahlungsströme nicht sinnvoll, da die Zeitpunkte und Vorzeichen der Zahlungsströme unterschiedlich sein können. Für einen Vergleich müssen deshalb Zahlungsströme "gleichnamig" gemacht werden. Dies geschieht mit Hilfe der Zinsrechnung.

Für die Bewertung einer Zahlung ist nämlich der Zeitpunkt entscheidend:
- Geld heute ist „mehr wert" als in der Zukunft
- Der Verzicht auf die Verfügbarkeit ist mit Opportunitätskosten (selten auch Alternativkosten, Verzichtskosten, oder Schattenpreis) sind entgangene Erlöse (allgemeiner: entgangener Nutzen), die dadurch entstehen, dass vorhandene Möglichkeiten (Opportunitäten) zur Nutzung von Ressourcen nicht wahrgenommen werden.Opportunitätskosten verbunden, die ausgeglichen werden müssen
- Deshalb wird Geld nur zur Verfügung gestellt, wenn dafür ein Ausgleich z.B. in Form von Zinsen gezahlt wird, d.h. Zinsen stellen ein Entgelt für die Überlassung von Kapital dar.

Beispiel
Ein Anleger stellt der Bank sein Geld in Form von Spareinlagen zur Verfügung.

- Für 1000 € (Anfangswert K0) bekommt er bei einem Zinssatz (r) von 1,5 % nach einem Jahr  15 € Zinsen und den Anfangswert, zusammen also 1.015,00 € (Endwert K1 ) zurück: der Anfangsbetrag wurde auf den Endwert aufgezinst.

- Um heute 1000 € (Endwert) zu erhalten, hätte er bei gleichem Zinssatz vor einem Jahr 985,20 € (Anfangswert) anlegen müssen: der Endwert wurde auf den Anfangswert abgezinst.

Die Formeln für die Auf- und Abzinsung werden weiter »unten dargestellt.

Eigenschaften von Zinszahlungen
In dem obigen Beispiel wurde eine Zinszahlung nur durch Angaben des Nominalzinssatzes in der Form 1,5% p.a.(per annum = jährlich) spezifiziert. Wichtig für eine korrekte Bewertung sind aber noch folgende Charakteristika, die für alle Zahlungen - auch im Zusammenhang mit Optionen und anderen Derivaten - gelten:

Tageszählweise - Day Count Conventions
Die Tageszählweise gibt an, wie Zinsen berechnet werden sollen, wenn der Zeitraum weniger als ein Jahr beträgt.
Mit 2 „Zahlen" wird spezifiziert, - wie viele Tage man pro Monat berechnet (Zahl vor dem Strich) - und wie viele Tage man pro Jahr berechnet (Zahl hinter dem Strich)
- „Zahlen" sind hier: 30, 360, 365 oder „act"
- „act" heißt: kalendergenau,

Ein Beispiel: 100 € zu einem Zinssatz von 5 % p.a. angelegt für den Monat Februar:
- bei „act/act" für den Monat Februar 2003: 28/365 = 0,076712 - sind das 0,3836 €
- bei „act/act" für den Monat Februar 2004: 29/366 = 0,079452 - sind das 0,3962 €
- bei „30/360" für den Monat Februar 2004: 30/360 = 0,083333 - sind das 0,4167 €

Bei einem Anlagebetrag von 1 Million Euro ist der Unterschied natürlich viel spürbarer, sodass dieser Anleger/Kreditnehmer schon auf die Ausgestaltung seines Vertrages in Bezug auf die Tageszählweise achten sollte.

Für die Tageszählweise gibt es internationale Konventionen:
- am Euro Geldmarkt (Interbanken): act/360
- Euro Anleihe- und Zinsswapmarkt: 30/360
- beim Privatkundengeschäft der Filialbanken: 30/360.

Feiertagsregelungen - Business Day Conventions
Was passiert, wenn ein Zahlungstermin auf einen Feiertag (Nicht-Bank-Tag) fällt? Auch dafür gibt es Regelungen.

Mit 2 Angaben wird spezifiziert,
- nach welchem Kalender (abhängig vom Ort bzw. Handelsplatz) Feiertage definiert sind
- z. B. ist der 2. Januar in London Feiertag, in Frankfurt nicht
- wie anschließend zu verfahren ist:
- Following (der dem Bankfeiertag folgende Bankarbeitstag)
- Modified Following (der dem Bankfeiertag folgende Bankarbeitstag, falls er noch in den gleichen Monat fällt)
- preceding (der dem Bankfeiertag vorhergehende Bankarbeitstag).

Unterschiede in Tageszählweise und Feiertagsregelung werden - wie oben erwähnt - erst bei großen Anlage-/Kreditbeträgen relevant.

Zinsfixingtermine
Bei Finanzinstrumenten mit variablen Zinssätzen muss ein Termin festgelegt werden, an dem der Zinssatz für die nächste Periode bestimmt wird.

Zinszahlungshäufigkeit
Werden Zinsen unterjährig (z. B. halbjährlich, vierteljährlich) gezahlt, kommt es auch bei Laufzeiten unter einem Jahr zu einem »Zinseszinseffekt, d.h. die Zinsen werden dem Kapital zugeschlagen und mitverzinst. Das führt zu einem höheren Endwert - oder bei gleichem Endwert - zu einem höheren »effektiven Zins als dem Nominalzins. Je häufiger die Zinszahlung erfolgt, desto größer ist der Endwert und desto höher der effektive Zinssatz - wie weiter unten gezeigt.

Bei einer einmaligen Zinszahlung am Ende der Laufzeit spricht man von einer einfachen oder linearen Verzinsung, bei häufigeren Zinszahlungen von einer exponentiellen Verzinsung. Eine Verzinsung, bei der der Zeitraum zwischen zwei Zahlungen gegen 0 geht, nennt man stetige Verzinsung.

Wirtschaftliche Bedeutung
10.000 Euro zu einem Nominalzins von 5 % für ein Jahr mit jährlicher Zinszahlung angelegt, führt zu einem Endwert von 10.500,00 Euro. Bei vierteljährlicher Zinszahlung ergibt sich ein Endwert von 10.509,45 Euro.

Für einen Kleinanleger ist die Zahlungsfrequenz eher unbedeutend, bei einem großen Kreditbetrag, hohen Zinsen und langer Laufzeit hat das schon eine höhere Bedeutung, wie in der interaktiven Anwendung unten gezeigt wird..

Aus Kreditrisiko-Sicht ist es natürlich viel besser, bspw. ein Jahr lang jedes Quartal 25 Euro zu bekommen als nur am Schluss 100 Euro: Wenn der Kreditnehmer nach einem halben Jahr bankrott geht, hat man im ersten Fall schon 50 Euro erhalten, im zweiten Fall geht man ganz leer aus.


Die einfache Verzinsung ist im kurzlaufenden Geldmarktgeschäft bei typischen Laufzeiten von wenigen Tagen bis zu etwa zwei Jahren gebräuchlich, die exponentielle Verzinsung vor allem an den Kapitalmärkten bei Anlageformen und Finanzinstrumenten ab einem Jahr Laufzeit. Die stetige Verzinsung wird hauptsächlich in theoretischen Modellen verwendet.

Zinsberechnungsmethoden - Formeln
Für die Zinsberechnung werden, je nach Berücksichtigung von Zinseszinsen folgende Formeln verwendet. Dabei ist:
- K0 der Anfangswert
- K1 der Endwert
- r der Nominalzinssatz
- t die Laufzeit in Jahren
- m die Häufigkeit der Zinszahlung pro Jahr

Zinsformeln


Wie man sieht, haben alle Formeln die gleiche Form: bei der Aufzinsung wird der Anfangswert mit einem Faktor, dem Aufzinsungsfaktor multipliziert, bei der Abzinsung wird der Endwert mit dem Kehrwert des Aufzinsungsfaktors, dem Diskontfaktor multipliziert. Diese Faktoren unterscheiden sich nach der Art der Verzinsung.

Wie sich die unterschiedliche Verzinsung - abhängig von Laufzeit und Nominalzinssatz - durch den Zinseszinseffekt auf den Endwert auswirkt, zeigt das interaktive Beispiel. Wenn man mit dem Mauszeiger über eine Kurve fährt, wird die Verzinsungsart angezeigt.



Hinweise zur Bedienung der interaktiven Anwendung

Wenn Sie mit der Maus über die Graphik fahren, wird die Bezeichnung der Linien angezeigt. Durch Ziehen der Schieber können die angezeigten Parameter verändert werden. Beim Anklicken des "+"-Symbols öffnet sich eine Menüleiste für den Schieber,
- bei der Werte konkret eingegeben werden können (mit einem Punkt statt Komma),
- die Animation abläuft (Play),
- die Animation in Schritten vorwärts und rückwärts bewegt werden kann,
- die Animation beschleunigt oder verlangsamt,
- und deren Richtung eingestellt werden kann.

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Dieser Zinseszins-Rechner dient zur Visualisierung des Einflusses der Zinszahlungshäufigkeit auf den Endwert einer Anlage und stellt keine Anlageempfehlung dar. Obwohl dieses Tool mit größter Sorgfalt erstellt wurde, kann für die aufgeführten Inhalte keine Gewährleistung für die Vollständigkeit, Richtigkeit und Genauigkeit übernommen werden.

Literaturhinweise:

Kruschwitz; L.:
Finanzmathematik, 5. Aufl., München, 2010

Adelmeyer, M./Warmuth, E.:
Finanzmathematik für Einsteiger, 2. Aufl.,
Wiesbaden, 2009

Albrecher, H./Binder, A./
Mayer,P.:
Einführung in die Finanz­mathematik,
Basel-Boston-Berlin, 2009


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So funktioniert die Zinsrechnung
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